1.4. Ideale 

    Definiţie.     Fie  (A, +, )  un inel şi I A , I   . Considerăm operaţiile induse în I din A, tripletul (I, +, )   se numeşte ideal al  inelului (A, +, )   dacă satisface condiţiile: 

(i) Pentru orice  a , b   I, a - b   I ;

(ii)  Pentru orice  x    A şi orice , a   I, xa   I ;

(iii)  Pentru orice  x   A şi orice a   I, ax   I .

    Din condiţia (i) rezultă că (I, +) este un subgrup al grupului aditiv  (A, +) iar din condiţia (ii) sau (iii) rezultă că pentru orice a, b   I avem ab   I. Deci fiecare ideal al inelului (A, +, )   este, în particular, un subinel al acestui inel. Afirmaţia inversă nu este, în general, adevărată . Într-adevăr , de exemplu, (Z, +, ) este un subinel  al inelului (Q, +, )   fără a fi ideal.

    Dacă sunt satisfăcute numai condiţiile (i) şi (ii), atunci tripletul (I, +, )   se numeşte ideal stâng al inelului (A, +, )  iar daca satisfac condiţiile (i) şi (iii) , atunci (I, +, )  se numeşte ideal drept . Aceste noţiuni sunt distincte, în sensul că idealele stângi ale unui inel nu coincid obligatoriu cu idealele drepte. Aşa de exemplu, dacă în inelul matricilor pătratice de ordin n, n > 1, cu elemente din Z, am considera mulţimea matricilor care au elementele de pe prima coloană egale cu  zero, se va constata că acestea formează un ideal stâng , fără a fi şi un ideal drept. Cu toate acestea, în continuare ne vom ocupa numai de idealele bilaterale, pe care le vom numi, simplu, ideale.

    Teorema 1.4.1. Dacă (A, +, ) este un inel cu element unitate şi I A,        I  , atunci (I, +, )  va fi ideal dacă şi numai dacă satisface condiţiile: 

(1) Pentru orice a,b  I, a + b   I ;

(2) Pentru orice x    A şi orice  a   I , xa   I ;

                (3)   Pentru orice x   A şi orice a   I, ax   I .

    Demonstraţie. Întrucât (i) este o condiţie necesară şi suficientă pentru ca     (I, +) să fie subgrup al grupului (A, +), din (i) rezultă (1) . Invers, pentru orice b  I , din  -1   A şi din (2) rezultă  -b   I , adică pentru orice a, b   I , a + (-b) = a – b   I.

    Pentru fiecare inel (A, +, ) , tripletele ({0}, +, ) şi însăşi (A, +, ) sunt exemple banale de ideale . Un ideal al lui (A, +, ) nebanal se numeşte ideal propriu. Inelele fără ideale proprii se numesc inele simple . Un exemplu de inel cu ideale proprii este (Z, +, ) . Într-adevăr, se constată uşor că toate subinelele acestui inel , adică tripletele (nZ, +, ) , n   N , sunt ideale ale inelului  numerelor întregi .

    De asemenea se constată că inelul (Q, +, ) nu admite ideale proprii , adică este simplu . De altfel , este adevărată următoarea afirmaţie mai generală :

    Teorema  1.4.2. Fiecare corp este inel simplu.

    Demonstraţie. Dacă (I, +, ) este ideal al corpului (A, +, ) , atunci întrucât     I ≠ Ø , există a  I şi a – 1   A astfel încât  aa – 1  = 1  I . Deci , oricare ar  fi x  A , x = x  1  I şi astfel I = A.

    Menţionăm că nu orice inel simplu este obligatoriu corp, adică inelele simple nu sunt epuizate de corpuri. Pentru a ne convinge de acest lucru demonstrăm următoarea teoremă :

    Teorema 1.4.3. Inelul matricilor de ordin n, n > 1 , cu elemente dintr-un corp este simplu, deşi acest inel nu este corp.

    Demonstraţie.  Fie (Mn, +, ) inelul matricilor pătratice de ordin n cu elemente din corpul (A, +, ) şi (I, +, ) un ideal nenul al acestui inel. Deci, există matricea   care conţine cel puţin un element diferit de zero, de exemplu akl ≠ 0.

    Deoarece (A, +, ) este corp, pentru orice b  A există x, y  A, astfel încât   b= xakly  .

    Notând prin cij matricea din Mn care are pe locul (i, j) elementul c  A , iar în rest zero şi ţinând cont de definiţia operaţiei de înmulţire a matricilor, pentru orice l  s şi orice t   n,

    Întrucât (I, +, ) este ideal în (Mn, +, ) ,   şi cum orice matrice din Mn se poate reprezenta ca o sumă de matrici de forma bst  , rezultă că Mn  I , adică               I =  Mn .

    Teorema 1.4.4.

    Dacă (I, +, ), este o familie de ideale ale inelului (A, +, ), atunci   este un ideal al inelului (A, +, ).

    Demonstraţie.     este un subgrup al grupului aditiv (A, +) , deci rămâne să arătăm că satisface condiţiile (ii) şi (iii) din definiţia idealului. Pentru aceasta, observăm că dacă a    , atunci a  I ,  pentru fiecare    , deci pentru orice x  A şi orice xa  I , adică  xa    şi   ax   .

    Menţionăm că reuniunea unei familii de ideale ale unui inel nu este obligatoriu un ideal. Aşa, de exemplu, se ştie că în inelul (Z, +, ) , tripletele (2Z, +, ) şi (3Z, +, ) sunt ideale, însă reuniunea lor nu este subinel al inelului (Z, +, ), deci nu va fi nici ideal în acest inel.

    Teorema 1.4.5. Dacă (I, +, ) ,    este o familie de ideale ale inelului (A, +, ) , atunci există idealul (I, +, )  al inelului (A, +, ) cu proprietăţile:

(i Pentru fiecare   , I  I ;

(ii) Dacă (I, +, ) este ideal al inelului  (A, +, ) cu proprietatea că  pentru orice     , I  I , atunci  I  I .

Idealul (I, +, ) , astfel determinat se numeşte idealul generat în inelul       (A, +, ) de familia de ideale (I, +, )  .

    Acelaşi raţionament ne conduce la următoarea afirmaţie mai generală :

Teorema 1.4.6.  Dacă (A, +, ) este un inel şi M  A  , atunci există idealul     (I, +, ) al inelului (A, +, ) cu proprietăţile:

(1) I  M;

(2) Dacă idealul (I, +, ) al idealului (A, +, ) are proprietatea I  M , atunci I  I.

    Idealul (I, +, ) astfel determinat se  numeşte idealul generat în inelul         (A, +, ) de submulţimea  M  A . Evident dacă M ≠ Ø , atunci idealul generat de M este idealul zero. 

    Prin teorema ce urmează obţinem construcţia efectivă a idealului generat de o submulţime într-un inel unitar.

    Teorema 1.4.7. Dacă (I, +, ) este idealul generat de submulţimea M, M ≠ Ø , a inelului unitar (A, +, ), atunci elementele lui I sunt toate sumele finite de forma  , unde i , i  A şi xi  M . 

     Demonstraţie. Dacă  , atunci observăm că diferenţa a două elemente din S este tot un element din S şi înmulţind la stânga sau dreapta un element din S cu un element din A obţinem tot un element din S, deci  (S, +, ) este un ideal al inelului (A, +, )  . Deoarece  (A, +, ) este inel unitar,     S  M , deci în baza definiţiei idealului generat S   I . Pe de altă parte, deoarece (I, +, ) este ideal şi I  M,  I  S deci I = S .

    Şi în cazul idealelor, la fel ca în cazul subinelelor unui inel, se observă că

oricare ar fi(I1, +, )  şi (I2, +, ) ideale ale inelului (A, +, )  , I1  I2  Inf  I1 , I2.

    De asemenea, notând prin < I1 I2> idealul generat de aceste două ideale în inelul (A, +, ) obţinem  ca <I1  I2>  Sup {I1, I2}.  Prin urmare, ţinând cont de definiţia laticii, obţinem:

    Teorema  1.4.8. Mulţimea idealelor unui inel formează latice în raport cu

ordonarea prin incluziune.

    Pentru obţinerea efectivă a dealului generat de două ideale ale unui inel,

formulăm următoarea teoremă :

    Teorema  1.4.9.   Dacă (I1, +, ) şi (I2, +, ) sunt ideale ale inelului (A, +, ) , atunci <I1   I2> este format din toate elementele de forma a + b , unde a  I1 şi         b  I2.

    Demonstraţie.  Să notăm  I = {a + b  a  I1 şi b  I2 } şi să arătăm că           I = <I1 I2> . Observăm mai întâi că I  I1 şi I  I2 , iar  I  < I1  I2 > . Deci ţinând cont de definiţia idealului generat , va trebui să demonstrăm numai că  (I, +, ) este ideal . (I, +) este subgrup  normal al grupului aditiv (A, +) , deci pentru orice  a, b ,     a – b  I .

    Apoi, dacă x  A  şi h  I, atunci există a  I1 şi b  I2 , astfel încât              h = a + b, deci xh = x(a + b) = xa + xb , unde xa  I1 ;i xb  I2 , adică  xh  I . Asemănător se arată că pentru x  A şi  h  I ,  hx  I .

        1.5. Inel factor 

    Noţiunea de ideal a fost definită pornind de la  proprietăţile pe care le au nucleele morfismelor de inele . În continuare vom constata că pentru orice ideal bilateral exista un morfism de inele al cărui nucleu este chiar idealul dat . În acest mod , noţiunea de ideal bilateral joacă în teoria inelelor acelaşi rol pe care îl joacă noţiunea de subgrup normal în teoria grupurilor.  

    Fie  (A, +, )  un inel şi I un ideal bilateral al sau . În particular I este un subgrup (normal) al grupului abelian  (A, +) .  Relaţia definita pe R în modul următor: 

(1) x ≡ y  (mod  I)  x – y  I

este o relaţie de echivalenţă compatibilă cu operaţia aditivă pe R . Această proprietate face posibilă extinderea operaţiei  „ + ”  de la elementele lui R la clasele de echivalenţă în raport cu relaţia  „ ≡ ” , prin 

                                                     +  = 

    O clasă de echivalenţă în raport cu  relaţia  „ ≡ ” este de forma                          = x + I = {x + a │ a  I} .

În raport cu această operaţie mulţimea R / ≡ a claselor de echivalenţă are o structură de grup abelian.  Elementul neutru al acestui grup este  = I .

    Vom studia în continuare comportarea relaţiei „ ≡ ” în raport cu înmulţirea. 

1.5.1. Lemă.   Dacă I este un ideal bilateral al inelului (A, +, ) atunci relaţia de echivalenţă „ ≡ ” definită prin (1) este compatibilă cu operaţia „  ” din inelul A.

    Demonstraţie.   Fie x ≡ x1 (mod I) şi y ≡ y1(mod I). Există a, b  i astfel încât   x – x1 = a  I  şi  y – y1 = b  I .

x  y = (x1 + a)(y1 + b) = x1y1 + ay1 + x1b + ab

xy – x1y1 = ay1 + x1b + ab  I

    Ultima relaţie rezultă din faptul că I este ideal bilateral şi arată tocmai           xy ≡ x1y1 (mod I) .

Introducere  ……………………………………………………………    3

Capitolul I.  Inele.

1.1 Definiţia inelului. Exemple.  …………………………………..   4

1.2 Proprietăţi de bază ale inelelor ………………………………...   9 

1.3 Subinele  ……………………………………………………….  13

1.4 Ideale  …………………………………………………………..  18

1.5 Inel factor  ……………………………………………………...  23

1.6 Morfisme de inele  ……………………………………………...  26

1.7 Inele de fracţii  ………………………………………………….  35

1.8 Inele de polinoame  ……………………………………………..  38

1.9 Inelul claselor de resturi modulo n  ……………………………..  46

Capitolul  II.  Corpuri.

2.1 Definiţia corpului. Exemple.  …………………………….………  50

2.2 Proprietăţi de bază ale corpurilor  ………………………………..  55

2.3 Subcorpuri  ……………………………………………………….  58

2.4 Corpuri prime  ……………………………………………………  59

2.5 Morfisme de corpuri  ……………………………………….…….  62

2.6 Corpuri finite  …………………………………………………….  64

2.7 Corpul fracţiilor unui domeniu de integritate  ……………………  72

Bibliografie  ………………………………………………………………  75