2. NUMERE NATURALE
2.1. CONSTRUCŢIA NUMERELOR NATURALE
Elevii fac cunoştinţă cu mulţimea numerelor naturale 0,1,2,3, …n notată cu N încă din clasele primare .
Matematicianul Italian Giuseppe Peano (1858-1932) a definit numerele naturale ca fiind elemente ale unei mulţimi N în care s-a fixat un element 0 ( numit numărul natural 0) împreună cu o funcţie
s: N N (numită funcţie succesor) astfel încat axiomele următoare să fie îndeplinite:
Axiomele lui Peano
A1 Zero este număr natural
A2 Orice număr natural admite un succesor unic, care este tot număr natural.
A3 Zero nu este succesorul nici unui număr natural.
A4 Dacă succesorii a două numere naturale coincid, atunci numerele considerate coincid.
A5 Dacă o mulţime de numere naturale conţine pe 0 şi pentru fiecare număr din această mulţime succesorul său aparţine mulţimii, atunci mulţimea considerată coincide cu mulţimea tuturor numerelor naturale.
Observaţie :
Axioma A5 se mai numeşte principiul inducţiei sau axioma inducţiei.
Adunarea numerelor naturale
Definiţie Se numeşte adunarea numerelor naturale aplicaţia:
+ : N N N ( unde N N = { ( a,b )/ a, b N } ) astfel încât :
1. a+ 0 = a a N
2. a+bI = (a+b)I a,b N ( bI = succesorul lui b )
Proprietăţile adunării numerelor naturale
1. Adunarea numerelor naturale este asociativă .
a,b,c N , (a+b)+c = a+ (b+c)
2. Adunarea numerelor naturale este comutativă .
a,b N , a+b=b+a .
3. Adunarea numerelor naturale admite pe 0 ca element neutru.
a N , 0+a=a+0=a.
Demonstraţie :
1. Fie a, b N şi fie P = { c N / (a+b)+c=a+(b+c) }.
Evident 0 P iar dacă c P atunci
(a+b)+cI = ( ( a+b)+c)I = a+(b+c)I = a+(b+cI) deci şi cI P . Aşadar P=N şi proprietatea e demonstrată.
2. Fie a N şi fie P = { b N / a+b = b+a }
Din definiţia numerelor naturale rezultă că 0 P.
Dacă b N atunci
a+bI = (a+b)I = (b+a)I = bI + a .
3. Din definiţia numerelor naturale rezultă :
a+0=a a N şi 0+aI = (0+a)I = aI
a + 0I = (a+0)I = aI
Înmulţirea numerelor naturale
Definiţie : Se numeşte înmulţirea numerelor naturale aplicaţia
“ “ : N N N astfel încât :
1. a 0 = 0 a N
2. a bI = a b + a a N ( bI = succesorul lui b ) .
Proprietăţile înmulţirii numerelor naturale
1. Înmulţirea numerelor naturale este asociativă .
(a b ) c = a ( b c) a,b,c N
2. Înmulţirea numerelor naturale este comutativă.
a b = b a a,b N
3. Înmulţirea numerelor naturale admite pe 1 ca element neutru.
1 a = a 1 = a a N
4. Înmulţirea numerelor naturale este distributivă faţă de adunarea numerelor naturale .
a ( b+c) = a b + a c a,b,c N .
Demonstraţie :
1. Pentru a,b N definim P = { c N / (a b) c=a (b c) }
Este clar că 0 P şi dacă c P atunci
( a b) cI = (a b ) c + a b = a (b c) + a b = a (b c+b)=a
(b cI ) deci cI P.
Aşadar P = N şi proprietatea e demonstrată.
2. Pentru a N , fie P = { b N / a b=b a }
Evident 0 P iar dacă c P , atunci
abI=ab+a=ba+a=bIa
deci bI P .
Rezultă că P=N şi astfel proprietatea e demonstrată .
3. Fie a N
1 a=a 1=a 0I= a 0+a = 0+a = a .
4. Fie a,b N şi fie P = { c N / a (b+c) = ab+ac }
Evident 0 P .
Dacă c P , atunci :
a (b+cI) = a ( b+c)I = a(b+c) +a = (ab+ac)+a =ab+(ac+a)=ab+acI
deci cI P .
Aşadar P=N şi relaţia e demonstrată.
Teoremă .
Adunarea şi înmulţirea numerelor naturale au proprietăţile :
1. a+b=0 a= 0 şi b= 0
2. a+b=a+c b=c
3. a b = 0 a= 0 sau b= 0
4. ab=ac , a 0 şi b=c
5. ab=1 a=1 şi b=1 .
Demonstraţie :
1. Dacă a 0 atunci a=mI cu m N. Rezultă că
a+b= mI+b=(m+b)I 0 . Contradicţie .
2. Fie P={a N / a+b=a+c b=c} . Evident 0 P .
Presupunem că a P şi că aI + b = aI + c
Atunci (a+b)I = (a+c)I şi aplicând A4 (din axiomele lui Peano ) rezultă a+b = a+c .
Cum a P şi a+b=a+c b=c deci aI P.
Aşadar P = N şi proprietatea e demonstrată.
3. Presupunem că a 0 şi b 0 .
Fie n N astfel încât a = nI . Avem 0=ab = nIb= nb+b şi din relaţia 1. rezultă b=0. Contradicţie.
4. Fie a 0 şi P= { b N / ab= ac b=c } .
Dacă b= 0 atunci a c =a 0 = 0 şi din relaţia 3. rezultă c= 0 ,deci 0 P .
Presupunem că b P şi abI = a m . Cum a 0 şi bI 0 din relaţia 3. rezultă că aIb 0 , deci a m 0 de unde m 0 .
Fie c N astfel încât m = cI .
Din abI= acI rezultă ab+a = ac+a , deci ab = ac conform relaţiei 2.
Cum b P deducem b=c şi deci bI= cI = m . Aşadar bI = P , deci P= N şi proprietatea e demonstrată .
5. Cum ab= 1 = 0I 0 , avem a 0 şi b 0.
Fie m, n aparţin lui N astfel încât a = mI , b=nI . Avem 0I=1= mIb=mb+b =mb+uI = ( mb+u)I şi A4 ( din axiomele lui Peano ) rezultă că
0 = mb + n .
Aplicând relaţiile 1 şi 3. obţinem m = 0 şi n = 0 , deci a = mI = 0I = 1 şi
b = uI= 0I =1.
2.2.TEOREMA ÎMPĂRŢIRII ÎNTREGI
2.2.1.TEOREMA ÎMPĂRŢIRII ÎNTREGI ÎN CAZUL NUMERELOR NATURALE
În acest capitol vom enunţa şi demonstra prima teoremă de o importanţă considerabilă pentru întregul studiu care urmează . Până la demonstraţia lui Zermelo a teoremei fundamentale a aritmeticii , dată în secolul nostru , teorema împărţirii întregi deschidea singura cale pentru demonstraţia teoremei fundamentale a aritmeticii dată de Euclid acum două mii de ani .
În cazul numerelor naturale vom enunţa şi demonstra numai un aspect al teoremei împărţirii întregi cu scopul de a folosi acest lucru în demonstraţia teoremei împărţirii întregi , în cazul general al numerelor întregi. Procedând în acest fel , se scoate în acelaşi timp în evidenţă şi modul în care ajungem la teorema împărţirii întregi , în cazul când cel puţin unul din numerele întregi considerate nu e număr natural .Acesta e chiar modul în care lucrăm în diferitele cazuri concrete .
Teoremă . Dacă a şi b sunt numere naturale , iar a b , atunci exista o pereche de numere întregi q denumit cât si r denumit rest,astfel încât
a=bq+r şi 0 r < b.
Demonstraţia o vom face în mai multe etape.
Etapa I Determinarea câtului q
Vom considera multiplii lui b ,diferiţi doi câte doi,cuprinşi între b şi a , atunci când aceştia există, precum şi multiplul de b egal cu b, cât şi cel egal cu a, dacă a este multiplu de b.Astfel de multiplii de b există , deoarece un astfel de multiplu de b este chiar b.
Mulţimea considerată a multiplilor de b este o mulţime finită , deoarece sau conţine numai pe b dacă a=b sau dacă b < a coincide cu mulţimea care conţine pe b, pe a şi pe fiecare dintre numerele întregi aflate între b şi a, atunci cănd aceştia există , ceea ce se întâmplă atunci când b= 1 sau este o submultime proprie a acestei mulţime finită , conform proprietăţii numerelor întregi şi conform teoremei mulţimilor finite. Proprietatea numerelor întregi spune că între două numere întregi diferite care nu sunt consecutive se află doar un număr finit de numere întregi diferite două câte două . Teorema mulţimilor finite spune că reuniunea a două mulţimi disjuncte finite este o mulţime finită .
Mulţimea considerată a multiplilor de b , fiind o mulţime finită , putem determina pe cel mai mare dintre ei. Să notăm cu qb acest multiplu de b , şi atunci qb a şi a < ( q + 1 ) b , deoarece fiecare multiplu de b din mulţimea considerată este cel mult egală cu a , iar dacă am avea ( q + 1 ) b a , atunci din cauză că qb < ( q+1) b , qb dar fi cel mai mare multiplu de b dintre multiplii de b consideraţi.
Numărul întreg q care apare în multiplul qb este câtul căutat .
Etapa II Determinarea restului r
Numărul întreg r din r = a – qb este restul căutat.
Etapa III Demonstraţia relaţiilor a = bq+r şi 0 r < b .
Din r = a – qb rezultă a = bq + r , iar din qb a şi a < (q + 1 ) b deducem că
0 a- qb şi a – qb < b ,
deci
0 r şi r < b sau 0 r < b .
Observaţie :
Un lucru foarte important este acela că în cele de mai sus nu putem determina decât o singură pereche de numere întregi q şi r. Acest lucru va fi demonstrat în cazul general când a şi b sunt numere întregi , impunându-se doar condiţia în care b 0.
2.2.2. TEOREMA ÎMPĂRŢIRII ÎNTREGI ÎN CAZUL NUMERELOR ÎNTREGI
Trecând la cazul general al numerelor întregi avem :
TEOREMA ÎMPĂRŢIRII ÎNTREGI
Dacă a şi b sunt numere întregi , iar b 0 , atunci există o pereche şi numai una singură de numere întregi q , denumit cât şi r denumit rest astfel încât a = bq + r şi 0 r < .
Demonstraţie Se face în două etape
Etapa I Determinarea câtului q , a restului r şi a relaţiilor
a = bq + r şi 0 r <
Ne vom folosi de teorema demonstrată în paragraful anterior şi în acest scop vom lua , mai întâi valorile absolute ale lui a şi b , adică vom forma modulul lui a şi lui b . Aici modulul lui b este singurul număr natural , deoarece am presupus că b 0 dar în privinţa modulului lui a putem avea şi a = 0 . Între numerele întregi |a| şi |b| putem avea una şi numai una dintre relaţiile :
|a| > |b| , |a| = |b| sau |a|<|b| .
Cazul I
Fie |a| |b| .
În acest caz şi |a| e număr natural , deoarece |a| |b| , iar |b| este număr natural , adică |b| > 0 deci |a| > 0 . Putem aplica teorema din paragraful precedent , deci există o pereche de numere întregi Q şi R astfel încât
|a| > |b| Q + R şi 0 R < |b|
Dacă a> b avem |a|=a şi deci
a = b ( Q sign b ) + R , 0 R < |b|
şi dacă luăm q= Q sign b şi r=R , avem
a=bq+r şi 0 r < |b|.
Observaţie
Sign a = . Dacă a < 0 vom scrie mai întâi ,
|a| sign a = |b|Q sign a + R sign a
sau
a = b (Q sign a sign b ) + R sign a .
Dacă R= 0 avem
a = b ( a sign a sign b) + 0 şi 0 0 < |b|
şi dacă luăm q=Q sign a sign b şi r = 0 , avem
a = bq + r şi 0 r < |b| .
Dacă însă R 0 , atunci în loc de 0 R < |b| putem scrie 0 < R < |b| , de unde obţinem 0 < R , R <|b| şi apoi |b| < R + |b| , R < |b| sau |b| - R <|b| , 0 < |b|-R , deci putem scrie
a = b(Q sign a sign b – sign b ) + ( |b| - R ) şi 0< |b| -R <|b| ,
Deoarece sign a = -1 şi deci R sign a = - R şi dacă luăm q = Q sign a sign b – sign b şi r=|b|-R , avem
a = bq + r şi 0 r < |b| ,
deoarece relaţia 0 < r poate fi scrisă şi sub forma 0 r .
Am studiat toate cazurile posibile , deoarece din |a|>0 rezultă numai a> 0 sau a < 0 .
Cazul II
Fie |a| < |b|
Putem avea a 0 sau a < 0 .
Dacă a 0 vom scrie
a = b 0 + a , 0 a < |b| ,
deoarece în acest caz , în loc de |a| < |b| putem scrie 0 a < |b| fiindcă avem |a| = a şi dacă luăm q= 0 şi r = a obţinem
a= bq + r şi 0 r < |b| .
Dacă a < 0 , atunci se constată că
0 < |b| + a <|b| , deoarece din |a| < | b |
deducem – a < |b| , fiindcă în acest caz , |a|=-a, deci 0<|b| + a si astfel obţinem |b| + a < |b|
În acest caz mai putem scrie şi
a= -|b| + ( |b| + a ) sau a = b( - sign b ) + (|b| + a) , 0 < |b| + a < | b| şi dacă luăm q = - sign b si r = |b| + a , obţinem
a = bq + r şi 0 r < |b| , deoarece relaţia 0 < r poate fi scrisă şi sub forma 0 r .
Deci fiind date două numere întregi a şi b unde b 0 , am stabilit , luând în considerare toate cazurile posibile , că putem găsi două numere întregi q şi r astfel încât să avem
a = bq + r şi 0 r < |b| .
Etapa a II-a Demonstraţia unicităţii perechii de numere întregi q şi r
În etapa I , în cazul când a şi b sunt numere întregi , iar b 0 , am determinat o pereche de numere întregi q şi r astfel încât
a = bq + r şi 0 r < |b| .
Să arătăm că o altă pereche de astfel de numere întregi nu mai poate fi determinată .
Vom demonstra mai întâi prin reducere la absurd , că dacă există două perechi de numere întregi q , r , q1 , r1 astfel încât
a = bq + r şi 0 r < |b|
şi
a = bq1 + r1 şi 0 r1 < |b| ,
atunci q1 = q .
Vom presupune deci că q1 q . În acelaşi timp , putem scrie
0 = b ( q-q1) + r- r1 ,
ceea ce se obţine prin scăderea relaţiilor a = bq + r şi a = bq1 + r1 .
Relaţia 0= b ( q – q1 ) + r – r1 o vom scrie astfel
b ( q – q1 ) = r1- r ,
deci
|b| |q-q1| = | r1 – r| şi deoarece q – q1 0 , fiindcă s-a presupus că q1 q , avem | q-q1| 1 conform proprietăţii care spune că dacă a este un număr întreg diferit de zero avem |a| 1 .
Deci
|b| |q – q1| |b| şi resultă |r-r1| |b|.
În acelaşi timp însă , din
0 r < |b| şi 0 r1 < |b|
rezultă
a = bq + r şi 0 r r1 < |b| sau 0 r1 r < |b| , deoarece putem avea r r1 sau r r1 .
Nu vom lua în considerare decât cazul r r1 deoarece în cazul r1 r putem schimba notaţiile , notând pe r cu r1 şi pe r1 cu r şi vom obţine r r1 .
În cazul r r1 avem
0 r r1 < |b| ,
deci
0 – r 0 r1 – r < |b| - r ,
deci
– r 0 şi 0 r1 – r <|b| - r ;
Din - r 0 rezultă |b| - r |b| ,
deci
din 0 r1 – r < |b| - r şi |b| - r |b|
prin tranzitivitate rezultă
0 r1 – r < |b| .
Însă avem r1 – r = | r1 – r | , deoarece 0 r1-r
deci
| r1- r | < |b| , ceea ce contrazice relaţia stabilită mai sus , anume |b| |r1- r | .
Pentru a înlătura contradicţia obţinută trebuie să luăm q1= q .
Atunci , din bq1 + r1 = bq + r rezultă şi că r1 = r , ceea ce dovedeşte că perechea q , r este unică .
Observaţie Contradicţia b 0 nu a fost pusă în enunţul teoremei pentru a putea face demonstraţia , ci pentru că teorema împărţirii întregi nu e adevărată în cazul când b= 0 .
Într-adevăr , dacă b = 0 şi dacă pentru măcar un număr întreg a putem găsi o pereche de numere întregi q şi r astfel încât :
a = bq + r , 0 r < |b| ,
atunci vom avea 0 r < 0 , deoarece din b = 0 , rezultă |b| = 0 .
Însă pentru nici un număr întreg r nu putem avea relaţiile 0 r < 0 , adică relaţiile 0 r şi r < 0 , deci teorema împărţirii întregi nu e adevărată pentru nici un număr întreg a în cazul când b = 0 .
O variantă a teoremei împărţirii întregi este următoarea :
TEOREMĂ Dacă a şi b sunt două numere iar b 0 , atunci există o pereche de numere întregi q denumit cât şi r denumit rest , astfel încât
a = bq + r şi |r| < |b| .
Demonstraţia acestei teoreme rezultă direct din teorema împărţirii întregi , observând că r = |r| , deoarece 0 r şi deci rezultă a = bq + r şi |r| < |b| nemaiscriind 0 |r| , deoarece acest lucru se subînţelege , valoarea absolută a unui număr întreg fiind egală cu zero sau fiind un număr întreg pozitiv.
2.3. RELAŢIA DE DIVIZIBILITATE
Definiţie Fie a şi b două numere naturale . Spunem că a divide b şi scriem a / b , dacă există c N astfel încât ac = b . Dacă a/b se mai spune că b se divide prin a sau b este divizibil cu a . a/b c N astfel încât ac= b .
Proprietăţile relaţiei de divizibilitate
P1 : Relaţia de divizibilitate este reflexivă adică : a / a
Demonstraţie : Datorită egalităţii a = a 1 a / a
P2 : Relaţia de divizibilitate este antisimetrică , adică :
a / b şi b / a a = b .
Demonstraţie :
Din a / b astfel încât b = a m
Din b / a n astfel încât a = b n
Dacă a = 0 atunci b = a n = 0 n = 0 a = b = 0 .
Dacă a 0 atunci din a = a m n 1 = m n m = n =1 .
Deci a = b.
P3 Relaţia de divizibilitate e tranzitivă , adică :
a / b şi b / c a / c .
Demonstraţie
Dacă a / b astfel încât b = a m
Dacă b / c astfel încât c= b n
Deci c = a ( m n ) a / c .
P4 Două relaţii de divizibilitate se înmulţesc membru cu membru , adică , dacă
a1 / b1 şi a2 / b2 atunci a1 a2 / b1 b2 .
Demonstraţie
Faptul că a1 / b1 înseamnă că există un număr întreg c1 astfel încât
b1 =a1 c1 , iar faptul că a2 / b2 înseamnă că există un număr întreg c2 astfel încât b2 =a2 c2.
Înmulţind membru cu membru egalităţile b1=a1 c2 şi b2=a2 c2 obţinem
b1b2 = (a1c1)(a2c2) sau b1b2 = (a1a2)(c1c2).
Deoarece c1c2 este un număr întreg , produsul a două numere întregi fiind un număr întreg , înseamnă că a1a2 / b1b2 .
P5 a) Ambii membrii ai unei relaţii de divizibilitate se pot înmulţi cu orice număr întreg , adică dacă a / b ac / bc c număr întreg.
CUPRINS
1. INTRODUCERE …………………………………………………………3
2. NUMERE NATURALE …………………………………………………..4
2.1. CONSTRUCŢIA NUMERELOR NATURALE ...............................................4
2.2. TEOREMA ÎMPĂRŢIRII ÎNTREGI ................................................................8
2.2.1. TEOREMA ÎMPĂRŢIRII ÎNTREGI ÎN CAZUL NUMERELOR NATURALE .............................................................................................8
2.2.2. TEOREMA ÎMPĂRŢIRII ÎNTREGI ÎN CAZUL NUMERELOR ÎNTREGI ................................................................................................10
2.3. RELAŢIA DE DIVIZIBILITATE ....................................................................14
2.4. CRITERIUL GENERAL DE DIVIZIBILITATE...............................................17
3. NUMERE PRIME..............................................................................19
3.1. NUMERE PRIME ŞI DESCOMPUNEREA UNUI NUMĂR NATURAL ÎN FACTORI PRIMI ..........................................................................................19
3.2. IMPORTANŢA NUMERELOR PRIME ÎN MATEMATICĂ ...........................22
3.3. TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ARITMETICII...........................................24
3.4. TEOREMA LUI EUCLID...............................................................................25
3.5. CIURUL LUI ERATOSTENE ......................................................................26
3.6. C.M.M.D.C. ŞI C.M.M.M.C. A DOUĂ NUMERE..........................................28
3.7. ALGORITMUL LUI EUCLID ........................................................................30
3.8. NUMERE PRIME SPECIALE ......................................................................32
3.8.1. NUMERE PRIME GEMENE ...............................................................32
3.8.2. NUMERE PERFECTE ........................................................................33
3.8.3. NUMERE PRIME ALE LUI MERSENNE ............................................35
3.8.4. NUMERE PRIME ALE LUI FERMAT ..................................................35
4. TEOREME CELEBRE ......................................................................36
4.1. CONGRUENŢE – INTRODUCERE..............................................................36
4.2. RELAŢIA DE CONGRUENŢĂ .....................................................................38
4.3. INDICATORUL LUI EULER ........................................................................ 48
4.4. CONGRUENŢA DE GRADUL I CU O NECUNOSCUTĂ ............................51
4.5. TEOREMA LUI EULER ...............................................................................53
4.6. TEOREMA LUI FERMAT ( MICA TEOREMĂ )............................................54
4.7. MAREA TEOREMĂ A LUI FERMAT ...........................................................55
5. CONSIDERAŢII METODICE ............................................................
5.1. CONSIDERAŢII METODICE PRIVIND DIVIZIBILITATEA NUMERELOR NATURALE ..................................................................................................57
5.2. EXERCIŢII TIPICE PENTRU CLASA A V-A ………………………………….59
5.3. EXERCIŢII REZOLVABILE CU AJUTORUL CONGRUENŢELOR ………..65
6. ANEXĂ .……………….…………………………………………….........68
7. BIBLIOGRAFIE..................................................................................75
