4. Strategia optima de hedging folosind forward
In acest capitol, voi arata cum se modifica rezultatele obtinute anterior cu futures atunci cand utilizam contractele forward. Acest lucru ne va ajuta sa vedem clar ce influenta economica are mecanismul de marcare la piata, specific futures. Etapele abordarii strategiei cu forward vor fi aceleasi ca si in cazul strategiei de hedging cu futures.
In cazul strategiei cu forward nu este necesar sa folosim investitia in active fara risc pe piata interna pentru a obtine un portofoliu autofinantabil. Aceasta pentru ca pe perioada detinerii contractelor forward investitor nu are cashflow pe pozitia deschisa. Cu toate acestea, vom pastra unitatile de active fara risc pentru a putea face o comparatie intre aceste doua strategii. Bineinteles faptul ca detine active fara risc nu afecteaza in nici intr-un fel investitorul.
Fie φ(t) numarul de contracte forward detinute de catre investitor la momentul t. Valoarea curenta (la momentul t) a castigurilor sau pierderilor generate de pozitia pe forward este egala cu . Intr-adevar, din moment ce aceste „net-uri” cumulate sunt platite sau incasate la momentul τ1, doar este necesar. Deci, la momentul t valoarea totala a plasamentului va arata astfel:
Aplicand lema lui Ito si folosind ecuatia de dinamica a expunerii in moneda nationala vom avea ecuatia de dinamica a plasamentului in ansamblu:
Definim ca si in cazul strategiei cu futures cateva variabile:
reprezinta raportul dintre valoarea investitata in active straine si plasamentul in ansamblul lui,
este rata de activelor fara risc in total portofoliu
reprezinta, ca si in cazul strategiei cu futures, rata de hedging .
Folosind notatiile facute si ecuatia plasamantelui putem scrie ecuatia de dinamica astfel:
Problema de optim a investitorului este:
Ca si in cazul strategiei cu futures, definim functia inversa de utilitate (valoarea investitorului), notata cu J(t,W(t),X(t)):
J(t,W(t),X(t)) .
Optimul strategiei de hedging folosind contractele forward, va fi solutia ecuatiei Hamilton-Jacobi-Bellman:
Derivand ecuatia Hamilton-Jacobi-Bellman in raport cu δ(t) si γ(t) vom obtine conditia de optim. Eliminand mai apoi γ(t) din cele doua ecuatii rezultate, obtinem rata de hedging optima pentru strategia adoptata:
unde .
Analizand formula obtinuta, observam ca este mai complicata decat cea obtinuta pentru strategia cu contrace futures. In toti termenii din formula, apare un factor suplimentar, ceea ce pune in dificultate interpretarea economica, dar e mai ampla.
Factorul suplimentar reprezinta o rata si este covarianta dintre modificarile ratei forward si modificarile pretului bond-urilor de pe piata interna pe varianta portofoliului. Acest factor apare in k la numitor in doua cazuri si in final la numarator. De cele mai multe ori acest factor are valoare negativa, iar explicatia este urmatoarea: odata cu cresterea ratei dobanzii interne, pretul obligatiunilor de pe piata interna scade, cursul de schimb, la o rata a dobanzii externa data, probabil va creste si deci si rata forward G(t,τ1). Acest lucru face covarianta dintre rata forward si pretul oblitiunilor de pe piata interna sa fie negativa. Aparitia acestui factor are urmatoarea interpretare economica: se datoreaza riscului suplimentar de rata a dobanzii, aparut in urma castigurilor sau pierderilor cumulate pe perioada de hedging. Din moment ce aceste pozitii nete obtinute de hedger vor fi platite doar la maturitate τ1, riscul de rata a dobanzii depinde de covarianta dintre rata forward G(t,τ1) si pretul bond-ului cu scadenta τ1, Pd(t,τ1). E normal ca acest risc sa afecteze toate componentele strategiei de hedging. Deoarece investitorul anticipeaza ca valoarea actuala a pozitiei forward cumulate se va modifica, el se protejeaza impotriva modificarilor nefavorabile a ratei dobanzii ca urmare a strategiei utilizate ,astfel incat acest risc apare in urma utilizarii strategiei insasi. Riscul de rata de dobanda dispare in mod natural in cazul marcarii la piata, prin asta explicandu-se si faptul ca formula obtinuta pentru futures este mai simpla decat cea obtinuta pentru forward.
Aparitia riscului suplimentar, nu depinde de natura activului detinut in afara granitelor si valoarea caruia este protejata prin aceasta strategie. Pentru a simplifica si pentru a nu pune accent pe sursele de risc suplimentare, am considerat ca investitorul poate opta pentru activele fara risc, dar doar din economia interna. Daca investitorul ar fi avut posibilitatea sa investeasca in bond-uri de pe pietele externe sau in activele fara risc de pe aceste piate, strategia optima ar fi mult mai complicata, dar si in acesc caz ar fi aparut un factor suplimentar pentru strategia optima folosind forward in comparatie cu cea in care folosim contractele futures.
Comparand componetele pentru cele doua strategii vom observa ca pentru prima δ1, termenul care este alturat ratei ρ, este , covarianta dintre modificarea expunerii in moneda nationala si modificarea valorii obligatiunilor interne. De cele mai multe ori aceasta covarianta este pozitiva, exceptie face doar cazul in care valoarea investitiei externe este mai degraba o functie poztiva de rata de dobanda. Din moment ce k este mai mic in valoare decat , atunci valoarea acestui termen pentru forward este mai mare decat pentru futures, din moment ce ρ este negativ cum am demosntrat anterior. Deci investitorul va trebui sa vanda mai multe contracte forward decat futures pentru a obtine per ansamblu o pozitie cu o variatie minima. Pentru o astfel de strategie investitorul de cele mai multe ori va avea o pozitie de supra-acoperit. In cazul analizat si in conditia unui hadging pur, Lioui si Poncet (2000) au aratat ca rata optima de hedging variaza intre 1% si 15%. In practica insa, in momentul in care volatilitatea ratei dobanzii este foarte mare, de cele mai multe ori, rata de hedging a investitorilor depaseste aceasta limita. Pentru ceilalti termeni ai formulei nu este relevanta compararea, iar suma ultimilor doi termeni din formula arata doar ca, contractele forward nu sunt marcate la piata.
Cuprins:
